Température dans un four

D'après un sujet de bac STI2D, métropole, 2021. 

Lors de leur fabrication, certaines pièces métalliques peuvent présenter des faiblesses dues à un refroidissement inégal après la coulée ou lors du fraisage, du tournage ou du rabotage. Pour réduire les contraintes dans la pièce, on procède à un recuit de détente.
Le recuit de détente est un traitement thermique. Selon la norme NF EN ISO 4885, le recuit de détente, pour l’acier, est un recuit réalisé dans une plage de température de \(550 \; ^\circ \text{C}\) et \(650 \; ^\circ \text{C}\) suivi par un lent refroidissement pour réduire les contraintes internes sans modifier les propriétés des pièces.
Pour réaliser un recuit de détente, on dispose d’un four thermique électrique qui permet d’obtenir progressivement la température souhaitée à l’aide d’une résistance chauffante. La température au sein d’un four thermique électrique contenant des pièces en acier, dépendant du temps, est modélisée par une fonction \(\theta\).
La température est exprimée en degrés Celsius et le temps est exprimé en secondes.
On admet que la fonction \(\theta\), définie et dérivable sur l’intervalle \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\), est une solution, sur cet intervalle, de l’équation différentielle suivante : \((E) : 800y^{\prime}+ y = 600\).
À l’instant \(t = 0\), on met le four sous tension. La température est alors de \(25 \; ^\circ \text{C}\).

1. a. Déterminer la fonction `\theta`, définie sur \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\), solution de l'équation \((E)\) et vérifiant la condition initiale donnée.
    b. Quelle sera la température du four au bout de \(10\) minutes ?
2. Selon la norme NF EN ISO 4885, le recuit de détente, pour l’acier, est un recuit réalisé dans une plage de température comprise de \(550 \; ^\circ \text{C}\) et \(650 \; ^\circ \text{C}\).
    a. Selon ce modèle, déterminer le temps d’attente nécessaire pour que le four atteigne la température de \(550 \; ^\circ \text{C}\). On arrondira le résultat à la minute.
    b. Selon ce modèle, la température du four peut-elle dépasser \(600 \; ^\circ \text{C}\) ?